Vektorový integrální počet
Základní pojmy
Připomeňme definici jednoduchého oboru \(\tilde V\) v \(\R^3\) (Definice 23 v prezentacích), což je množina, která je sjednocením jednoduchých oborů vzhledem ke všem osám, přičemž jednoduchý obor \(V\) vzhledem k např. ose \(z\) definujeme jako
\[V = \set{[x,y,z] \in \R^3 \mid [x,y] \in M, g(x,y) \leq z \leq h(x,y)},\]kde \(M \subseteq \R^2\) je množina v rovině, která je omezená uzavřenou jednoduchou křivkou \(C\).
Jednoduchá křivka neprotíná sama sebe.
Definice \(\secT{ZD.1}\) (nabla operátor)
Hamiltonův nabla operátor definujeme v \(\R^2\) jako
\[\nabla := \brackets{\partDiff x, \partDiff y},\]z čehož dostáváme, že funkci \(f : \R^2 \to \R\) přiřazuje vektorové pole
\[\nabla f = \grad f = \brackets{ \partDeriv f x, \partDeriv f y}.\]Obdobně bychom jej definovali pro \(\R^n\).
Hamiltonův operátor \(\nabla\) aplikovaný na vektorové pole \(\vv F\) v bodě \([x,y]\) si můžeme představit jako změny \(\vv F(x,y) \mapsto \vv F(\tilde x, \tilde y)\) při malém posunutí \([x,y] \mapsto [\tilde x, \tilde y]\). Potom skalární součin vektorového pole s tímto operátorem pak dává v jistém smyslu "průměr" jak je změna vektorového pole rovnoběžná se zmíněným malým posunem. Naopak vektorový součin těchto dvou členů dává "průměrnou" míru kolmosti změny vektorového pole a malé změny zkoumaného bodu.
Pro lepší intuici doporučuji toto video.
Uveďme jako poznámku, že operátor \(\nabla \circ \nabla = \nabla^2 = \Delta\) se nazývá Laplaceův operátor a pro skalární funkci \(f\) má tvar
\[\Delta f = \nPartDeriv{2}{f}{x^2} + \nPartDeriv{2}{f}{y^2}\]Nabla operátor aplikovaný na vektorovou funkci \(\vv F : \R^2 \to \R^2\) (tj. vektorové pole) dává Jakobiho matici
\[\nabla \vv F = \mtr{\partDeriv {\vv F_1} x & \partDeriv {\vv F_1} y \\ \partDeriv{\vv F_2} x & \partDeriv{\vv F_2} y}\]
Definice \(\secT{ZD.2}\) (divergence)
Nechť máme vektorovou funkci \(\vv F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))\), kde funkce \(P,Q: \R^2 \to \R\) jsou spojitě diferencovatelné.
Tedy jsou spojité spolu se svými prvními parciálními derivacemi
Pak s použitím definice \(\secRef{ZD.1}\) označíme divergenci vektorového pole jako funkci \(\Div{} : \R^2 \to \R\) definovanou předpisem
\[\Div {\vv F} = \scal {\nabla} {\vv F} = \partDeriv P x + \partDeriv Q y = P_x + Q_y.\]Obdobně bychom divergenci definovali pro vektorové pole v \(\R^n\).
Dále si uvědomme, že divergence uvádá "poměr" přítoku a odtoku vektorového pole v daném bodě. To jest, je-li \(\Div {\vv F}(x,y) > 0\), pak v bodě \([x,y]\) více vektorové odtéká, než je do toho bodu přítok. Analogicky pro situaci \(\Div {\vv F}(x,y) < 0\).
V analogii s kapalinami by to byl bod, ze kterého kapalina více odtéká, než do něj přitéka - tj. v tomto bodě vzniká kapalina.
Má-li vektorové pole charakterizující nějakou kapalinu pozitivní divergenci, potom by se v něm skrvny (např. ropná skrvna v oceánu) zvětšovaly postupem času
Obdobně můžeme zapsat i totální diferenciál funkce \(f:\R^n \to \R\)
\[\d f = \scal {\nabla f} {\d \vv x} = \partDeriv{f}{x_1} \d x_1 + \partDeriv{f}{x_2} \d x_2 + \dots + \partDeriv{f}{x_n} \d x_n\]Definice \(\secT{ZD.3}\) (zřídlovost)
Vektorové pole \(\vv F\) nazveme nezřídlové, pokud pro každý jeho bod \([x,y]\) platí
\[\Div {\vv F}(x,y) = 0.\]V opačném případě jej nazveme zřídlové.
Definice \(\secT{ZD.4}\) (rotace, curl)
Nechť máme vektorovou funkci \(\vv F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))\), kde funkce \(P,Q,R: \R^3 \to \R\) jsou spojitě diferencovatelné.
Pak s použitím definice \(\secRef{ZD.1}\) označíme rotaci vektorové pole jako funkci \(\rot{} :\R^3 \to \R^3\) s předpisem
\[\rot{\vv F} = \nabla \times \vv F = \brackets{R_y - Q_z, P_z - R_x, Q_x - P_y}\]Pro dvourozměrné vektorové pole \(\vv F : \R^2 \to \R^2\) pak uvažujeme rotaci jako \(\rot{} : \R^3 \to \R^3\) s 3. vstupní souřadnicí vždy nulovou a platí
\[\rot{\vv F} = (0, 0, Q_x - P_y)\]Zde je důležité si uvědomit, že ačkoliv pracujeme s 2D vektorovým polem, jeho rotace bude ležet ve 3. dimenzi, neboť musí být kolmá na jak na \(\nabla\), tak i na vektorové pole \(\vv F\).
Rotace \(\rot{\vv F}(x,y)\) udává lokální míru rotace v bodě \([x,y]\) a je-li nulová, pak takové pole nazveme nevírové.
Je-li rotace \(\rot{\vv F} > 0\) vektorového pole \(\vv F\), pak se tato rotace děje proti směru hodinových ručiček z pohledu kladně orientovaného normálního vektoru (osy \(z\) pro \(\vv F: \R^2 \to \R^2\)).
Lemma \(\secT{ZT.1}\) (vlastnosti rotace a divergence)
Nechť máme funkci \(f: \R^n \to \R\) a vektorovou funkci \(\vv F(\vv x) = (P_1(\vv x), \dots, P_n(\vv x))\), kde funkce \(P_1, \dots, P_n: \R^n \to \R\) jsou spojitě diferencovatelné. Pak platí
- \(\rot{\grad f} = \vv 0\)
- \(\Div{\rot{\vv F}} = 0\)
Důkaz:
Důkaz provedeme pro každou část zvlášť. Pro první rovnost jistě platí
přičemž si zde můžeme uvědomit, že \(\nabla f\) je de facto lineární násobek operátoru \(\nabla\), tedy \(\nabla\) a \(\nabla f\) jsou lineárně závislé. Z tohoto plyne, že jejich vektorový součin je nulový vektor. Více rigorózně tento důkaz provedeme v \(\R^3\) následovně
\[\begin{align} \rot{\grad f} &= \nabla \times \grad f = \nabla \times \brackets{\partDeriv{f}{x}, \partDeriv{f}{y}, \partDeriv{f}{z}} \\ &= \brackets{ \nPartDeriv{2}{f}{zy} - \nPartDeriv{2}{f}{yz}, \nPartDeriv{2}{f}{zx} - \nPartDeriv{2}{f}{xz}, \nPartDeriv{2}{f}{yx} - \nPartDeriv{2}{f}{xy} } \\ &= \vv 0, \end{align}\]za předpokladu, že \(f\) je dostatečně hladká. V \(\R^n\) by se důkaz vedl obdobně.
Dokažme nyní druhou část tohoto lemmatu. Jistě
chápeme-li nyní \(\nabla\) jako vektor, pak z definice vektorového součinu je \(\nabla \times \vv F \perp \nabla \implies \scal {\nabla} {\nabla \times \vv F} = 0\). \(\blacksquare\)
Definice \(\secT{ZD.5}\) (křivkový integrál 2. druhu)
Uvažujme vektorové pole \(\vv F : \R^2 \to \R^2\) a křivku \(C\) charakterizovanou parametrizací \(t \in [a,b], x = \vf(t), y = \psi(t)\). Potom integrál
\[\int_C \scal{\vv F} {\d \vv x} = \int_C \scal {\vv F} {\d \vec{l}} = \int_C \scal {\vv F} {\vec t} \d t,\]kde \(\d \vv x = \d \vec{l} = (\d x, \d y)\) a \(\vec t = (\vf', \psi')\), nazveme křivkový integrál 2. druhu.
Křivkovým integrálem 2. druhu v jakémsi smyslu zobecňujeme koncept "práce" (z fyziky), přičemž standardně jsme zvyklí na vztah \(W = F \cdot d\), kde \(d\) je délka trajektorie a \(F\) síla působící na těleso posunující ho po zmíněné trajektorii. Představit si můžeme například šikmou plochu, viz obrázek.
V této situaci gravitační pole působící silou \(\vec F\) vykoná práci pouze části síly \(F\), která je tečná (v tomto případě rovnoběžná) ke směru pohybu. Tato tečná část je označena \(\vec F_t\) a jistě platí \(\vec F_t = \scal{\vec{F}} {\vec {t}}\) a taktéž
\[W = |\vec F_t| \cdot d = \scal{\vec F} {\vec t} \cdot d\]To ovšem můžeme zapsat i pomocí křivkového integrálu 2. druhu, který udává práci, kterou vykoná vektorové pole při posunu tělesa po trajektorii a tedy
\[W = \int_C \scal {\vec F} {\vec t} \d t.\]Definice \(\secT{ZD.6}\) (plošný integrál 2. druhu)
Uvažujme vektorové pole \(\vv F = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) : \R^3 \to \R^3\) a plochu \(S\). Potom
\[\iint_S \scal {\vv F} {\vec{n}} \d S = \iint_S P(x,y,z) \d y \d z + Q(x,y,z) \d x \d z + R(x,y,z) \d x \d y,\]kde \(\vec n\) je normálový vektor plochy \(S\), nazýváme plošný integrál 2. druhu.
Plošný integrál 2. druhu nám udává průtok (flux) vektorového pole \(\vv F\) skrze plochu \(S\), který v každém bodě této plochy počítáme jako skalární součin normály \(\vec{n}\) k ploše \(S\) a vektorového pole \(\vv F\) (což nám dá, jak "velká část" \(\vv F\) směřuje ve směru normály \(\vec{n}\) a tedy protíká onou plochou \(S\))
Důležité vlastnosti
Věta \(\secT{VT.1}\) (Gaussova-Ostrogradského věta/Gauss divergence theorem)
Zformulujme tuto větu prvně slovně, poté i s podmínkami rigorózně:
Průtok vektorového pole \(\vv F\) skrze ohraničenou plochu \(S\) je roven integrálu z divergence \(\Div{\vv F}\) přes celý objem \(V\), který plocha \(S\) ohraničuje.
Nechť \(V\) je jednoduchý obor v \(\R^3\), \(\vv F : \R^3 \to \R^3\) je vektorové pole se spojitě diferencovatelnými složkami v každé proměnné a nechť \(S\) je ohraničená plocha ohraničující \(V\) orientovaná ve směru vnější normály. Pak platí
\[\iint_S \scal{\vv F} {\vec{n}} \d S = \iiint_V \Div{\vv F} \d V\]Zde si uvědomme, že
- je-li kapalina nestačitelná (samovolně nemizí/nevzníká, tedy \(\Div{\vv F} = 0\)), potom stejná část "přiteče" do libovolné oblasti, jako z ní odteče
- stejně tak, točí-li se kapalina (vektorové pole \(\vv F\)) pouze v rámci této oblasti (tedy \(\Div{\vv F}\) je opět nulový), pak jistě neproudí skrze plochu \(S\)
Abychom pochopili, proč můžeme průtok spočítat přes divergenci v celém objemu, rozdělme si objem \(V\) uzavřený plochou \(S\) na malé obdélníčky (kvádříky v \(\R^3\)) a spočítejme divergenci v těchto obdélnících (na obrázku jsou znázorněny všechny divergence kladné). Při dostatečně jemném dělení a spojitosti vektorového pole \(\vv F\) zjistíme, že divergence mezi sousedícími stěnami se odečtou (znázorněno červeně) a zbudou nám pouze divergebce v "okrajovém pásu" (aka plocha \(S\)) mířící ven z \(V\) (znázorněny modře).
Poznamenejme, že znaménko průtoku dovnitř plochy \(S\) je opačné, než znaménko průtoku vně této plochy. Aneb tuto větu můžeme interpretovat tak, že pokud dohromady (skrze integrál) uvnitř \(V\) (respektive \(S\)) nevzniká ani nemizí žádná kapalina (vektorové pole \(\vv F\)), pak průtok skrze plochu \(S\) musí být nulový (při znaménkové konvenci řečené výše).
Množina \(G \subseteq \R^2\) je jednoduše souvislá oblast, pokud je \(G\) otevřená, souvislá (libovolné 2 body lze spojit lomenou čarou, která leží v \(G\)) a s každou uzavřenou křivkou leží v \(G\) i vnitřek této křivky.
Aneb každá uzavřená křivka v \(G\) lze spojitě deformovat do bodu, aniž bychom \(G\) opustili.
Věta \(\secT{VT.2}\) (Stokesova věta)
Nechť plochu \(S\), která je omezená ohraničenou křivkou \(C\) tvořící kraj \(S\), lze rozložit na konečný počet částí, které jsou grafy funkcí proměnných \(x,y\), totéž pro \(x,z\) a \(y,z\). Nechť vektorové pole \(\vv F : S \to \R^3\) má spojitě diferencovatelné složky na \(S\). Dále nechť křivka \(C\) je orientovaná souhlasně s plochou \(S\). Pak platí
\[\oint_C \scal{\vv F}{\d \vv x} = \iint_S \scal{\rot{\vv F}}{\vec n} \d S\]nebo ekvivalentně
\[\oint_C \scal{\vv F}{\d \vec l} = \iint_S \scal{\rot{\vv F}}{\d \vec S}\]
Geometrická odůvodnění si ukážeme na jednodušší variantě - na Greenově větě \(\secRef{VT.3}\).
Věta \(\secT{VT.3}\) (Greenova věta)
Greenova věta je speciální případ Stokesovy věty \(\secRef{VT.2}\) pro plochu \(S\), zde značenou jako \(G\), jakožto rovinu.
Nechť \(G\) je jednoduše souvislá oblast v rovině, \(C\) je uzavřená, kladně orientovaná (proti směru hod. ručiček) křivka v \(G\). Dále nechť \(\vv F : \R^2 \to \R^2\) je vektorové pole se spojitě diferencovatelnými složkami na uzávěru \(\overline G\). Pak platí
\[\oint_C \scal{\vv F}{\d \vv x} = \iint_D \rot {\vv F} \overbrace{\d x \d y}^{\d D},\]kde \(D\) je část množiny \(G\) omezená křivkou \(C\) a \(\d \vec{l} = \d \vv x = (\d x, \d y)\) udává tečnu ke křivce \(C\) v daném bodě.
Opět tuto větu odůvodníme podobným argumentem jako u Gaussovy věty \(\secRef{VT.1}\), tj. tentokrát plochu \(S\) rozdělíme na obdélníčky, ve kterých určíme rotaci vektorového pole \(\rot{\vv F}\). Zjemňujeme-li toto dělení, všimneme si, že sousedí-li 2 obdélníčky a mají stejně orientovanou rotaci, pak se na sdílené straně "potkají 2 protichůdné směry" a celkem se rotace "odečte". Tímto nám opět zbude pouze rotace na okraji oblasti \(G\), tedy křivka \(C\), při které je rotace tečná ke křivce \(C\) - to je ale přesně integrál skalárního součinu vektorového pole \(\vv F\) a malého tečného kroku na křivce \(C\), tj. \(d \vec{l}\).
