$$f(x) - f(x^*) \geq \scal a {x - x^*} \eqT{2.5.1}$$
-
pro každé $x \in X$. Množina všech **subgradientů** funkce $f$ v bodě $x^* $ se nazývá **subdiferenciál** funkce $f$ v bodě $x^* $ a značí se $\subdif f(x^* )$. Funkce $f$ se nazývá **subdiferencovatelná** v bodě $x^* $, jestliže $\subdif f(x^* ) \neq \emptyset$.
+
pro každé $x \in X$. Množina všech **subgradientů** funkce $f$ v bodě $x^*$ se nazývá **subdiferenciál** funkce $f$ v bodě $x^*$ a značí se $\subdif f(x^*)$. Funkce $f$ se nazývá **subdiferencovatelná** v bodě $x^*$, jestliže $\subdif f(x^*) \neq \emptyset$.
-
> Jistě platí podle Věty $\secRefAt{2.4.2}{./konvexni-funkce}$ i $\grad f(x^* ) \in \subdif f(x^* )$
+
> Jistě platí podle Věty $\secRefAt{2.4.2}{./konvexni-funkce}$ i $\grad f(x^*) \in \subdif f(x^*)$
-
Speciálně, je-li $f:X \subseteq \R \to \R$ **konvexní** a $x^* \in \ri X$, pak podle Věty $\secRefAt{2.4.7}{./konvexni-funkce}$ existují **jednostranné** derivace $f'_ +(x^* ), f'_ -(x^* )$, přičemž platí $f'_ -(x^* ) \leq f'_ +(x^* )$. V tomto případě pak máme
+
Speciálně, je-li $f:X \subseteq \R \to \R$ **konvexní** a $x^*\in \ri X$, pak podle Věty $\secRefAt{2.4.7}{./konvexni-funkce}$ existují **jednostranné** derivace $f'_ +(x^*), f'_ -(x^*)$, přičemž platí $f'_ -(x^*) \leq f'_ +(x^*)$. V tomto případě pak máme
-
$$\subdif f(x^* ) = [f'_ -(x^* ), f'_ +(x^* )]$$
+
$$\subdif f(x^*) = [f'_ -(x^*), f'_ +(x^*)]$$
##### **Věta** $\secT{2.5.4}$
Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a $f: X \to \R$
-
- Je-li funkce $f$ **konvexní** a $x^* \in \ri X$, pak $\subdif f(x^* )$ je **neprázdná, uzavřená** a **konvexní** množina
+
- Je-li funkce $f$ **konvexní** a $x^*\in \ri X$, pak $\subdif f(x^*)$ je **neprázdná, uzavřená** a **konvexní** množina
- Je-li $\subdif f(x)$ **neprázdná** pro každé $x \in X$, pak $f$ je **konvexní** na $X$
### Fenchelova transformace
-
Fenchelova transformace je transformace, která k funkci $f: X \subseteq \R^n \to \R$ přiřadí **konvexní** funkci $f^* : \R^n \to \R$. Této přidružené funkci $f^* $ se v řeči *optimalizace/matematického programování* říká **duální úloha** (viz Definice $\secRefAt{4.3.3}{./dualni-uloha}$).
+
Fenchelova transformace je transformace, která k funkci $f: X \subseteq \R^n \to \R$ přiřadí **konvexní** funkci $f^*: \R^n \to \R$. Této přidružené funkci $f^*$ se v řeči *optimalizace/matematického programování* říká **duální úloha** (viz Definice $\secRefAt{4.3.3}{./dualni-uloha}$).
$$f^* (y) := \sup_{x \in \R^n} [\scal x y - f(x)]$$
+
$$f^*(y) := \sup_{x \in \R^n} [\scal x y - f(x)]$$
se nazývá **Fenchelova transformace** funkce $f$ (nebo také **(konvexně) konjugovanou funkcí** funkce $f$).
-
> Jistě $f: \R^n \to \R \cup \set{\infty}$ a proto definujeme ještě **efektivní definiční obor** $D^* (f) = \set{x \in D(f) \mid f(x) < \infty}$
+
> Jistě $f: \R^n \to \R \cup \set{\infty}$ a proto definujeme ještě **efektivní definiční obor** $D^*(f) = \set{x \in D(f) \mid f(x) < \infty}$
##### **Lemma** $\secT{2.6.3}$
-
Nechť je dána funkce $f: X \subseteq \R^n \to \R$ a $f^* $ je její Fenchelova transformace. Pak následující tvrzení jsou pravdivá:
-
- Funkce $f^* $ je konvexní na množině $Y := \set{y \in \R^n \mid f^* (y) < \infty}$
+
Nechť je dána funkce $f: X \subseteq \R^n \to \R$ a $f^*$ je její Fenchelova transformace. Pak následující tvrzení jsou pravdivá:
+
- Funkce $f^*$ je konvexní na množině $Y := \set{y \in \R^n \mid f^*(y) < \infty}$
- Pro každé $x \in X$ a $y \in \R^n$ platí tzv. *Fenchelova(-Youngova) nerovnost*
```math
-
f(x) + f^* (y) \geq \scal x y
+
f(x) + f^*(y) \geq \scal x y
```
přičemž **rovnost nastane** právě tehdy, když $y \in \subdif f(x)$.
-
- Je-li $f(x) \geq g(x)$ na $X$, pak $f^* (y) \leq g^* (y)$ pro všechna $y \in \R^n$.
+
- Je-li $f(x) \geq g(x)$ na $X$, pak $f^*(y) \leq g^*(y)$ pro všechna $y \in \R^n$.
##### **Věta** $\secT{2.6.6}$ (Fenchel & Moreau)
Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a funkce $f: X \to \R$ **konvexní** na $X$. Pak v **každém bodě spojitosti** funkce $f$ platí tzv. *Fenchelova rovnost*
-
$$f^{** } = f$$
+
$$f^{**} = f$$
-
> Jinak řečeno, **druhá** Fenchelova transformace ke **konvexní** funkci je s touto funkcí **totožná**, tj. $f^{**} \equiv f$ pro $f$ **konvexní**. Navíc jelikož $f^* $ je vždy konvexní, tak dostáváme, že počítat **třetí** Fenchelovu transformaci $f^{* * * }$ nemá smysl, protože bude totožná s první Fenchelovou transformací $f^* $
+
> Jinak řečeno, **druhá** Fenchelova transformace ke **konvexní** funkci je s touto funkcí **totožná**, tj. $f^{**} \equiv f$ pro $f$ **konvexní**. Navíc jelikož $f^*$ je vždy konvexní, tak dostáváme, že počítat **třetí** Fenchelovu transformaci $f^{***}$ nemá smysl, protože bude totožná s první Fenchelovou transformací $f^*$
##### **Definice** $\secT{2.6.7}$ (Obálka funkce)
Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a $f: X \to \R$. Potom funkce
