<div style="visibility:hidden;height:0;overflow:hidden;margin:0;padding:0">

</div>

Nyní se budeme věnovat řešení úlohy matematické programování v **závislosti na parametru**.

První se podíváme na úlohu matematické programování **s omezeními pouze ve tvaru rovností**, ale s obecnou závislostí na parametrech.

A v druhém (a posledním) případě se podíváme na úlohu **s omezeními ve tvaru nerovností**, ale s parametry **pouze** v podobě **absolutních členů** ve funkcích zadávajících tyto omezení.

Mějme úlohu

kde $x \in \R^n, r \in \R^k, f, g_1, \dots, g_m \in C^1$. Připusťme, že pro **každou hodnotu parametru** $r$ má úloha $\eqRef{AC.1}$ **jediné řešení**, které označíme $x\str (r)$. Potom **hodnota úlohy** $\eqRef{AC.1}$ je

Je-li $x\str(r)$ **diferencovatelná** vzhledem k $r$ a **Jacobiho matice** $\jacobx G(x\str (r), r) \in \R^{m\times n}$ má **plnou hodnost** $m$, pak platí

Požadavky Věty $\secRef{4.4.1}$ jsou relativně silné, proto uveďme její "slabší verzi".

Nechť $f, g_1, \dots, g_m \in C^2$ a $x\str$ je **lokálním řešením** úlohy

s odpovídajícími Lagrangeovými multiplikátory $y\str$. Nechť dále tato dvojice splňuje **postačující podmínku druhého řádu**, tj. $\hessx L(x\str, y\str) > 0$ na $\ker \jacob G(x\str)$, přičemž současně $x\str$ je **regulárním bodem**, tj. $\jacobx G(x\str) \in \R^{m\times n}$ má **plnou hodnost** $m$. Uvažme úlohu *parametrického programování*

pro parametr $u \in \R^m$. Pak **existuje otevřená koule** $S$ se **středem v počátku** ($u = 0$) taková, že pro každé $u \in S$ existuje **lokální řešení** $x\str(u) \in \R^n$ úlohy $\eqRef{AC.2}$ a odpovídající $y\str(u) \in \R^m$. Navíc $x\str(\cdot)$ a $y\str(\cdot)$ jsou **spojitě diferencovatelné** funkce na $S$ a platí $x\str(0) = x\str, y\str(0) = y\str$ a pro každé $u \in S$ máme

kde $f\str(u)$ značí **optimální hodnotu úlohy** $\eqRef{AC.2}$ vzhledem k $u$, tj. klademe $f\str(u) := f(x\str(u))$.

Uvažujme úlohu závislou na $m$-tici parametrů $b = (b_1, \dots, b_m)^T \in \R^m$, tj.

A dále zaveďme značení

množinu **K-T vektorů** úlohy $\eqRef{4.4.2}$ označme

a **subdifereniál** funkce $F(b)$ (viz Definice $\secRefAt{2.5.1}{./Subgradient a subdiferenciál a Fenchelova transformace}$) označme

Nechť množina $P \subseteq \R^n$ je **konvexní**, funkce $f, g_1, \dots, g_m$ jsou **konvexní** na $P$ a platí $0 \in B, F(0) > -\infty$ a $Y(0) \neq \emptyset$. Potom

1. množina $B$ je **konvexní**

2. funkce $F(b)$ je **konečná, konvexní** a **nerostoucí** na $B$

3. platí $\subdif F(b) = -Y(b)$ pro **všechna** $b \in B$

>> V případě **regulární** úlohy *konvexního programování* dostáváme zkombinováním těchto dvou výsledků $\subdif F(b) = - Y\str(b)$, kde $Y\str(b)$ je množina řešení **duální úlohy** (viz Věta $\secRefAt{4.3.6}{./Duální úloha}$).

Pomocí Věty $\secRef{4.4.3}$ jsme schopni dostat zajímavé výsledky o původní úloze *matematického programování*, tj. $\eqRef{4.4.2}$ s $b = 0$.

Nechť množina $P \subseteq \R^n$ je **konvexní**, funkce $f, g_1, \dots, g_m$ jsou **konvexní** na $P$, platí $F(0) > - \infty$ a **existuje** $\bar x \in P$ takové, že $G(\bar x) < 0$ (viz **Slaterova podmínka** ve Větě $\secRefAt{4.3.2}{./Duální úloha}$). Potom $0 \in B$ a

1. funkce $F(\cdot)$ je **spojitá** v bodě $b = 0$

2. pro libovolné $h \in \R^m$ **existuje jednostranná směrová** derivace

3. funkce $F$ je **diferencovatelná** v bodě $b = 0$ právě tehdy, když $Y(0)$ je **jednoprvková** množina, tj. $Y(0) = \brackets{y\str}$. Navíc platí $\gradT F(0) = -y\str$.

Lze ukázat, že pro $F(b)$ **hodnotu primární úlohy** je $F\str(y) = -\vf(y)$ a tedy duální úlohu $\eqRefAt{4.3.1}{./Duální úloha}$ je možné psát jako