<div style="visibility:hidden;height:0;overflow:hidden;margin:0;padding:0">

</div>

Nechť $X \subseteq \R^n$ je **konvexní** množina. Funkce $f: X \to \R$ se nazývá

- **konvexní** na $X$, jestliže pro všechna $x_1, x_2 \in X$ a každé $\l \in [0,1]$ platí

- **ostře konvexní** na $X$, jestliže nerovnost $\eqRef{2.2.1}$ je **ostrá** pro všechna $x_1, x_2 \in X, x_1 \neq x_2$ a každé $\l \in (0,1)$.

- **silně konvexní** na $X$ s **konstantou silné konvexnosti** $\th > 0$, jestliže pro všechna $x_1, x_2 \in X$ a každé $\l \in [0,1]$ platí

Nechť $X \subseteq \R^n$ je *konvexní* množina a nechť $f : X \to \R$. Funkce $f$ je **konvexní** na $X$ právě tehdy, když její **nadgraf** (**epigraf**)

$$\epi f := \brackets{\underbrace{[x, \beta]}_{\text{bod}} \in \R^{n+1} \mid x \in X, \beta \geq f(x)}$$

je **konvexní** množina.

---

Pro **ostře** konvexní funkci musí "tyto dva body" vždy ležet nad sebou (myšleny jejich souřadnice na ose $y$). Navíc pro **silnou** konvexnost mezi nimi musí vždy být alespoň daná mezera.

Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina, funkce $f_1, \dots, f_m: X \to \R$ jsou konvexní na $X$ a $\a_1, \dots, \a_m \geq 0$ jsou daná čísla. Potom $F(x) = \a_1 f_1(x) + \dots + \a_m f_m(x)$ je **konvexní**.

Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a $f: X \to \R$ je *konvexní* funkce na $X$. Pak pro libovolné $K \in \R$ je odpovídající **dolní vrstevnicová množina** (***sublevel set***)

$$V_K := \brackets{x \in X \mid f(x) \leq K}$$

také **konvexní**.

Přesněji říkáme, že pokud má funkce $f$ **konvexní** *sublevel set*, pak $f$ je **kvazikonvexní**.

Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a funkce $f:X \to \R$ je konvexní na $X$. Pak pro libovolné $m \in \N, x_1, \dots, x_m \in X$ a čísla $\l_1, \dots, \l_m \geq 0$ splňující $\sum_{i = 1}^m \l_i = 1$ platí

$$f \left( \sum_{i = 1}^m \l_i x_i \right) \leq \sum_{i = 1}^m \l_i f(x_i). \eqT{2.2.3}$$

Je-li navíc funkce $f$ **ostře konvexní** a $\l_1, \dots, \l_m \in (0,1)$, pak rovnost v $\eqRef{2.2.3}$ nastane *právě tehdy*, když $x_1 = \dots = x_m$.

Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a funkce $f: X \to \R$ konvexní. Potom následující tvrzení jsou pravdivá

- Libovolné **lokální minimum** funkce $f$ na $X$ je současně **globálním minimem**.

- Množina bodů množiny $X$, v nichž funkce $f$ nabývá svého **minima** na $X$, je **konvexní**. Je-li funkce dokonce **ostře konvexní**, pak je tato množina **nejvýše jednoprvková**.

- Je-li funkce $f$ **diferencovatelná** na **otevřené** množině $\mcal U \supseteq X$ a $x^* \in X$ je jejím **stacionárním bodem**, tj. $\grad f(x^* ) = 0$, pak $x^* $ je bodem **globálního minima** funkce $f$ na množině $X$.

---

Z Věty $\secRef{2.2.6}$ mimo jiné plyne, že je-li $f: X \to \R$ (*ostře*) konvexní a **spojitá** funkce na konvexní a **kompaktní** množině $X \subseteq \R^n$, pak $f$ má na $X$ (*právě jedno*) **globální minumum**.

-----

Máme-li konvexní funkci $f: X \to \R$ na polytopu $X := \conv \brackets{x_1, \dots, x_m} \subseteq \R^n$, pak je maximum funkce $f$ na $X$ dosaženo v některém z bodů $x_1, \dots, x_m$.

**Obecněji:** je-li $X$ konvexní a **kompaktní** množina, pak maximum nastává v **extrémním bodě** (tj. v takovém bodě, který **není netriviální** konvexní kombinací dvou bodů z $X$)

Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a funkce $f: X \to \R$ je konvexní na $X$. Pak $f$ je **spojitá** pro každé $x \in \ri X$.

---

Dále ještě známe několik podmínek zaručujících konvexnost funkce $f: \R \to \R$:

- má-li $f$ *vlastní* derivaci v **otevřeném** intervalu $I$, pak $f$ je (*ostře*) konvexní na $I$ právě tehdy, když $f'$ je **neklesající** (***rostoucí***) na $I$.

- má-li $f$ *vlastní* derivaci v **otevřeném** intervalu $I$, pak $f$ je (*ostře*) konvexní na $I$ právě tehdy, když pro každé $x, x^* \in I$ platí

tj. graf funkce $f$ leží **nad tečnou** sestrojenou v **libovolném** bodě.

- má-li $f$ vlastní **druhou** derivaci v **otevřeném** intervalu $I$, pak $f$ je konvexní na $I$ právě tehdy, když funkce $f''(x) \geq 0$ (je-li $f''(x) > 0$ na $I$, pak **ostře konvexní**)

Tyto tvrzení si nyní rozšiřme pro $f: \R^n \to \R$ pro **silnou** konvexnost s konstatnou $\th$ (volbou $\th = 0$ dostáváme **ostrou** konvexnost)

Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina a funkce $f$ diferencovatelná na otevřené množině $\mcal U \supseteq X$. Pak $f$ je **silně** konvexní na $X$ s konstantou **silné** konvexnosti $\th \geq 0$ právě tehdy, když pro každé $x, x^* \in X$ platí

$$f(x) \geq f(x^* ) + \scal {\grad f(x^* )} {x - x^* } + \th \norm{x - x^* }^2 \eqT{2.4.1}$$

Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina splňující $\interior X \neq \emptyset$. Nechť funkce $f: X \to \R$ je *dvakrát* spojitě diferencovatelná na **otevřené** množině $\mcal U \supseteq X$ s maticí druhých derivací $\hess f(x)$ (*Hessova matice*). Pak $f$ je **silně** konvexní na $X$ s konstantou silné konvexnosti $\th \geq 0$ právě tehdy, když pro každé $x \in X$ a $h \in \R^n$ platí

$$\scal {\hess f(x)} h \geq 2 \th \norm{h}^2 \eqT{2.4.3},$$

jinými slovy $\hess f(x) \geq 2 \th I$ pro všechna $x \in X$.

---

Z Důsledku $\secRef{2.4.5}$ plynou následující tři implikace

- $\hess f(x) \geq 0$ pro všechna $x \in X \implies f$ je konvexní na $X$

- $\hess f(x) > 0$ pro všechna $x \in X \implies f$ je **ostře** konvexní na $X$

- $\interior X \neq \emptyset$ a $f$ je konvexní na $X \implies \hess f(x) \geq 0$ pro všechna $x \in X$