# Vektorový integrální počet <div style="visibility:hidden;height:0;overflow:hidden;margin:0;padding:0"> ```math \newcommand{\LetThereBe}[2]{\newcommand{#1}{#2}} \newcommand{\letThereBe}[3]{\newcommand{#1}[#2]{#3}} \letThereBe{\addTag}{2}{\cssId{#1-#2}{\tag{#2}}} \letThereBe{\addLabel}{2}{\cssId{#1-#2}{\text{#2}}} \letThereBe{\refTag}{2}{\href{###1-#2}{(\text{#2})}} \letThereBe{\eqT}{1}{\addTag{eq}{#1}}\letThereBe{\secT}{1}{\addLabel{sec}{#1}} \letThereBe{\eqRef}{1}{\refTag{eq}{#1}} \letThereBe{\secRef}{1}{\refTag{sec}{#1}} \letThereBe{\eqRefAt}{2}{\href{#2\#eq-#1}{(\text{#1})}} \letThereBe{\secRefAt}{2}{\href{#2\#sec-#1}{(\text{#1})}} \LetThereBe{\R}{\mathbb{R}} \LetThereBe{\N}{\mathbb{N}} \letThereBe{\scal}{2}{\langle #1, #2 \rangle} \letThereBe{\norm}{1}{\left\lVert #1 \right\rVert} \LetThereBe{\dist}{\rho} \LetThereBe{\and}{\&}\letThereBe{\set}{1}{\left\{ #1 \right\}} \letThereBe{\brackets}{1}{\left( #1 \right)} \letThereBe{\parc}{2}{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \letThereBe{\mtr}{1}{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \letThereBe{\bm}{1}{\boldsymbol{#1}} \letThereBe{\mcal}{1}{\mathcal{#1}} \letThereBe{\vv}{1}{\mathbf{#1}}\letThereBe{\vvp}{1}{\pmb{#1}} \LetThereBe{\ve}{\varepsilon} \LetThereBe{\l}{\lambda} \LetThereBe{\th}{\vartheta} \LetThereBe{\a}{\alpha} \LetThereBe{\vf}{\varphi} \letThereBe{\grad}{1}{\mathrm{grad}\, #1} \letThereBe{\gradT}{1}{\mathrm{grad}^T #1} \letThereBe{\gradx}{1}{\mathrm{grad}_x #1} \letThereBe{\hess}{1}{\nabla^2\, #1} \letThereBe{\hessx}{1}{\nabla^2_x #1} \letThereBe{\subdif}{1}{\partial #1} \letThereBe{\partDiff}{1}{\frac{\partial}{\partial #1}} \letThereBe{\partDeriv}{2}{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \letThereBe{\nPartDeriv}{3}{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3}} \letThereBe{\Div}{1}{\mathrm{div}\, #1}\letThereBe{\rot}{1}{\mathrm{rot}\,#1} \LetThereBe{\d}{\,\mathrm{d}} ``` </div> ### Základní pojmy Připomeňme definici **jednoduchého oboru** $\tilde V$ v $\R^3$ (*Definice 23* v prezentacích), což je množina, která je **sjednocením jednoduchých oborů** vzhledem ke všem osám, přičemž jednoduchý obor $V$ vzhledem k např. ose $z$ definujeme jako ```math V = \set{[x,y,z] \in \R^3 \mid [x,y] \in M, g(x,y) \leq z \leq h(x,y)}, ``` kde $M \subseteq \R^2$ je množina v **rovině**, která je omezená uzavřenou jednoduchou křivkou $C$. > Jednoduchá křivka neprotíná sama sebe. ##### **Definice** $\secT{ZD.1}$ *(nabla operátor)* Hamiltonův *nabla operátor* definujeme v $\R^2$ jako ```math \nabla := \brackets{\partDiff x, \partDiff y}, ``` z čehož dostáváme, že funkci $f : \R^2 \to \R$ přiřazuje vektorové pole ```math \nabla f = \grad f = \brackets{ \partDeriv f x, \partDeriv f y}. ``` Obdobně bychom jej definovali pro $\R^n$. > Hamiltonův operátor $\nabla$ aplikovaný na vektorové pole $\vv F$ v bodě $[x,y]$ si můžeme představit jako změny $\vv F(x,y) \mapsto \vv F(\tilde x, \tilde y)$ při malém posunutí $[x,y] \mapsto [\tilde x, \tilde y]$. Potom skalární součin vektorového pole s tímto operátorem pak dává v jistém smyslu "průměr" jak je změna vektorového pole rovnoběžná se zmíněným malým posunem. Naopak vektorový součin těchto dvou členů dává "průměrnou" míru kolmosti změny vektorového pole a malé změny zkoumaného bodu. > > Pro lepší intuici doporučuji [toto video](https://youtu.be/rB83DpBJQsE?t=768). Uveďme jako poznámku, že operátor $\nabla \circ \nabla = \nabla^2 = \Delta$ se nazývá **Laplaceův operátor** a pro skalární funkci $f$ má tvar ```math \Delta f = \nPartDeriv{2}{f}{x^2} + \nPartDeriv{2}{f}{y^2} ``` > Nabla operátor aplikovaný na vektorovou funkci $\vv F : \R^2 \to \R^2$ (tj. vektorové pole) dává **Jakobiho matici** > ```math > \nabla \vv F = \mtr{\partDeriv {\vv F_1} x & \partDeriv {\vv F_1} y \\ \partDeriv{\vv F_2} x & \partDeriv{\vv F_2} y} > ``` ##### **Definice** $\secT{ZD.2}$ *(divergence)* Nechť máme vektorovou funkci $\vv F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$, kde funkce $P,Q: \R^2 \to \R$ jsou spojitě diferencovatelné. > Tedy jsou spojité spolu se svými prvními parciálními derivacemi Pak s použitím definice $\secRef{ZD.1}$ označíme **divergenci** vektorového pole jako funkci $\Div{} : \R^2 \to \R$ definovanou předpisem ```math \Div {\vv F} = \scal {\nabla} {\vv F} = \partDeriv P x + \partDeriv Q y = P_x + Q_y. ``` Obdobně bychom divergenci definovali pro vektorové pole v $\R^n$. --- Dále si uvědomme, že *divergence* uvádá "poměr" přítoku a odtoku vektorového pole v daném bodě. To jest, je-li $\Div {\vv F}(x,y) > 0$, pak v bodě $[x,y]$ více vektorové odtéká, než je do toho bodu přítok. Analogicky pro situaci $\Div {\vv F}(x,y) < 0$. > V analogii s kapalinami by to byl bod, ze kterého kapalina více odtéká, než do něj přitéka - tj. v tomto bodě vzniká kapalina. > > Má-li vektorové pole charakterizující nějakou kapalinu pozitivní divergenci, potom by se v něm skrvny (např. ropná skrvna v oceánu) zvětšovaly postupem času Obdobně můžeme zapsat i **totální diferenciál** funkce $f:\R^n \to \R$ ```math \d f = \scal {\nabla f} {\d \vv x} = \partDeriv{f}{x_1} \d x_1 + \partDeriv{f}{x_2} \d x_2 + \dots + \partDeriv{f}{x_n} \d x_n ``` ##### **Definice** $\secT{ZD.3}$ *(zřídlovost)* Vektorové pole $\vv F$ nazveme **nezřídlové**, pokud pro každý jeho bod $[x,y]$ platí ```math \Div {\vv F}(x,y) = 0. ``` V opačném případě jej nazveme **zřídlové**. ##### **Definice** $\secT{ZD.4}$ *(rotace, curl)* Nechť máme vektorovou funkci $\vv F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))$, kde funkce $P,Q,R: \R^3 \to \R$ jsou spojitě diferencovatelné. Pak s použitím definice $\secRef{ZD.1}$ označíme **rotaci** vektorové pole jako funkci $\rot{} :\R^3 \to \R^3$ s předpisem ```math \rot{\vv F} = \nabla \times \vv F = \brackets{R_y - Q_z, P_z - R_x, Q_x - P_y} ``` Pro dvourozměrné vektorové pole $\vv F : \R^2 \to \R^2$ pak uvažujeme rotaci jako $\rot{} : \R^3 \to \R^3$ s 3. vstupní souřadnicí vždy nulovou a platí ```math \rot{\vv F} = (0, 0, Q_x - P_y) ``` > Zde je důležité si uvědomit, že ačkoliv pracujeme s 2D vektorovým polem, jeho rotace bude ležet ve 3. dimenzi, neboť musí být kolmá na jak na $\nabla$, tak i na vektorové pole $\vv F$. Rotace $\rot{\vv F}(x,y)$ udává lokální míru rotace v bodě $[x,y]$ a je-li nulová, pak takové pole nazveme **nevírové**. > Je-li rotace $\rot{\vv F} > 0$ vektorového pole $\vv F$, pak se tato rotace děje proti směru hodinových ručiček z pohledu kladně orientovaného normálního vektoru (osy $z$ pro $\vv F: \R^2 \to \R^2$). ##### **Lemma** $\secT{ZT.1}$ *(vlastnosti rotace a divergence)* Nechť máme funkci $f: \R^n \to \R$ a vektorovou funkci $\vv F(\vv x) = (P_1(\vv x), \dots, P_n(\vv x))$, kde funkce $P_1, \dots, P_n: \R^n \to \R$ jsou spojitě diferencovatelné. Pak platí 1. $\rot{\grad f} = \vv 0$ 2. $\Div{\rot{\vv F}} = 0$ *Důkaz:* \ Důkaz provedeme pro každou část zvlášť. Pro první rovnost jistě platí ```math \rot{\grad f} = \nabla \times \grad f = \nabla \times \nabla f, ``` přičemž si zde můžeme uvědomit, že $\nabla f$ je *de facto* lineární násobek operátoru $\nabla$, tedy $\nabla$ a $\nabla f$ jsou lineárně závislé. Z tohoto plyne, že jejich vektorový součin je nulový vektor. Více rigorózně tento důkaz provedeme v $\R^3$ následovně ```math \begin{align} \rot{\grad f} &= \nabla \times \grad f = \nabla \times \brackets{\partDeriv{f}{x}, \partDeriv{f}{y}, \partDeriv{f}{z}} \\ &= \brackets{ \nPartDeriv{2}{f}{zy} - \nPartDeriv{2}{f}{yz}, \nPartDeriv{2}{f}{zx} - \nPartDeriv{2}{f}{xz}, \nPartDeriv{2}{f}{yx} - \nPartDeriv{2}{f}{xy} } \\ &= \vv 0, \end{align} ``` za předpokladu, že $f$ je dostatečně hladká. V $\R^n$ by se důkaz vedl obdobně. \ Dokažme nyní druhou část tohoto lemmatu. Jistě ```math \Div{\rot{\vv F}} = \scal {\nabla} {\rot \vv F} = \scal {\nabla} {\nabla \times \vv F}, ``` chápeme-li nyní $\nabla$ jako vektor, pak z definice vektorového součinu je $\nabla \times \vv F \perp \nabla \implies \scal {\nabla} {\nabla \times \vv F} = 0$. $\blacksquare$ ##### **Definice** $\secT{ZD.5}$ *(křivkový integrál 2. druhu)* Uvažujme vektorové pole $\vv F : \R^2 \to \R^2$ a křivku $C$ charakterizovanou parametrizací $t \in [a,b], x = \vf(t), y = \psi(t)$. Potom integrál ```math \int_C \scal{\vv F} {\d \vv x} = \int_C \scal {\vv F} {\d \vec{l}} = \int_C \scal {\vv F} {\vec t} \d t, ``` kde $\d \vv x = \d \vec{l} = (\d x, \d y)$ a $\vec t = (\vf', \psi')$, nazveme **křivkový integrál 2. druhu**. --- Křivkovým integrálem 2. druhu v jakémsi smyslu zobecňujeme koncept "práce" (z fyziky), přičemž standardně jsme zvyklí na vztah $W = F \cdot d$, kde $d$ je délka trajektorie a $F$ síla působící na těleso posunující ho po zmíněné trajektorii. Představit si můžeme například šikmou plochu, viz obrázek.  V této situaci gravitační pole působící silou $\vec F$ vykoná práci pouze části síly $F$, která je tečná (v tomto případě rovnoběžná) ke směru pohybu. Tato tečná část je označena $\vec F_t$ a jistě platí $\vec F_t = \scal{\vec{F}} {\vec {t}}$ a taktéž ```math W = |\vec F_t| \cdot d = \scal{\vec F} {\vec t} \cdot d ``` To ovšem můžeme zapsat i pomocí křivkového integrálu 2. druhu, který udává **práci, kterou vykoná vektorové pole při posunu tělesa po trajektorii** a tedy ```math W = \int_C \scal {\vec F} {\vec t} \d t. ``` ##### **Definice** $\secT{ZD.6}$ *(plošný integrál 2. druhu)* Uvažujme vektorové pole $\vv F = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) : \R^3 \to \R^3$ a plochu $S$. Potom ```math \iint_S \scal {\vv F} {\vec{n}} \d S = \iint_S P(x,y,z) \d y \d z + Q(x,y,z) \d x \d z + R(x,y,z) \d x \d y, ``` kde $\vec n$ je normálový vektor plochy $S$, nazýváme **plošný integrál 2. druhu**. --- Plošný integrál 2. druhu nám udává průtok (*flux*) vektorového pole $\vv F$ skrze plochu $S$, který v každém bodě této plochy počítáme jako skalární součin normály $\vec{n}$ k ploše $S$ a vektorového pole $\vv F$ (což nám dá, jak "velká část" $\vv F$ směřuje ve směru normály $\vec{n}$ a tedy protíká onou plochou $S$) ### Důležité vlastnosti ##### **Věta** $\secT{VT.1}$ *(Gaussova-Ostrogradského věta/Gauss divergence theorem)* Zformulujme tuto větu prvně slovně, poté i s podmínkami rigorózně: \ *Průtok vektorového pole $\vv F$ skrze ohraničenou plochu $S$ je roven integrálu z divergence $\Div{\vv F}$ přes celý objem $V$, který plocha $S$ ohraničuje.* Nechť $V$ je jednoduchý obor v $\R^3$, $\vv F : \R^3 \to \R^3$ je vektorové pole se spojitě diferencovatelnými složkami v každé proměnné a nechť $S$ je ohraničená plocha ohraničující $V$ orientovaná ve směru vnější normály. Pak platí ```math \iint_S \scal{\vv F} {\vec{n}} \d S = \iiint_V \Div{\vv F} \d V ``` > Zde si uvědomme, že > * je-li kapalina nestačitelná (samovolně nemizí/nevzníká, tedy $\Div{\vv F} = 0$), potom stejná část "přiteče" do libovolné oblasti, jako z ní odteče > * stejně tak, točí-li se kapalina (vektorové pole $\vv F$) pouze v rámci této oblasti (tedy $\Div{\vv F}$ je opět nulový), pak jistě neproudí skrze plochu $S$ Abychom pochopili, proč můžeme průtok spočítat přes divergenci v celém objemu, rozdělme si objem $V$ uzavřený plochou $S$ na malé obdélníčky (kvádříky v $\R^3$) a spočítejme divergenci v těchto obdélnících (na obrázku jsou znázorněny všechny divergence kladné). Při dostatečně jemném dělení a spojitosti vektorového pole $\vv F$ zjistíme, že divergence mezi sousedícími stěnami se odečtou (znázorněno červeně) a zbudou nám pouze divergebce v "okrajovém pásu" (aka plocha $S$) mířící ven z $V$ (znázorněny modře).  Poznamenejme, že znaménko průtoku **dovnitř** plochy $S$ je **opačné**, než znaménko průtoku **vně** této plochy. Aneb tuto větu můžeme interpretovat tak, že pokud **dohromady** (skrze integrál) uvnitř $V$ (respektive $S$) nevzniká ani nemizí žádná kapalina (vektorové pole $\vv F$), pak průtok skrze plochu $S$ musí být nulový (při znaménkové konvenci řečené výše). --- Množina $G \subseteq \R^2$ je **jednoduše souvislá oblast**, pokud je $G$ otevřená, souvislá (libovolné 2 body lze spojit lomenou čarou, která leží v $G$) a s každou uzavřenou křivkou leží v $G$ i vnitřek této křivky. > Aneb každá uzavřená křivka v $G$ lze spojitě deformovat do bodu, aniž bychom $G$ opustili. ##### **Věta** $\secT{VT.2}$ *(Stokesova věta)* Nechť plochu $S$, která je omezená ohraničenou křivkou $C$ tvořící kraj $S$, lze rozložit na konečný počet částí, které jsou grafy funkcí proměnných $x,y$, totéž pro $x,z$ a $y,z$. Nechť vektorové pole $\vv F : S \to \R^3$ má spojitě diferencovatelné složky na $S$. Dále nechť křivka $C$ je orientovaná souhlasně s plochou $S$. Pak platí ```math \oint_C \scal{\vv F}{\d \vv x} = \iint_S \scal{\rot{\vv F}}{\vec n} \d S ``` nebo ekvivalentně ```math \oint_C \scal{\vv F}{\d \vec l} = \iint_S \scal{\rot{\vv F}}{\d \vec S} ```  --- Geometrická odůvodnění si ukážeme na jednodušší variantě - na Greenově větě $\secRef{VT.3}$. ##### **Věta** $\secT{VT.3}$ *(Greenova věta)* Greenova věta je speciální případ Stokesovy věty $\secRef{VT.2}$ pro plochu $S$, zde značenou jako $G$, jakožto rovinu. Nechť $G$ je jednoduše souvislá oblast v rovině, $C$ je uzavřená, kladně orientovaná (proti směru hod. ručiček) křivka v $G$. Dále nechť $\vv F : \R^2 \to \R^2$ je vektorové pole se spojitě diferencovatelnými složkami na uzávěru $\overline G$. Pak platí ```math \oint_C \scal{\vv F}{\d \vv x} = \iint_D \rot {\vv F} \overbrace{\d x \d y}^{\d D}, ``` kde $D$ je část množiny $G$ omezená křivkou $C$ a $\d \vec{l} = \d \vv x = (\d x, \d y)$ udává tečnu ke křivce $C$ v daném bodě. --- Opět tuto větu odůvodníme podobným argumentem jako u Gaussovy věty $\secRef{VT.1}$, tj. tentokrát plochu $S$ rozdělíme na obdélníčky, ve kterých určíme rotaci vektorového pole $\rot{\vv F}$. Zjemňujeme-li toto dělení, všimneme si, že sousedí-li 2 obdélníčky a mají stejně orientovanou rotaci, pak se na sdílené straně "potkají 2 protichůdné směry" a celkem se rotace "odečte". Tímto nám opět zbude pouze rotace na okraji oblasti $G$, tedy křivka $C$, při které je rotace tečná ke křivce $C$ - to je ale přesně integrál skalárního součinu vektorového pole $\vv F$ a malého tečného kroku na křivce $C$, tj. $d \vec{l}$. 