Nechť $X \subseteq \R^n$. Množina $X$ se nazývá **konvexní**, jestliže pro všechna $x_1, x_2 \in X$ a pro každé $\l \in [0,1]$ platí

$$\l x_1 + (1 - \l) x_2 \in X \eqT{KM}$$

Mějme $X_i, i \in I$ konvexní množiny. Potom

- jejich sjednocení $\bigcap_{i \in I} X_i$ je konvexní množina

- jejich **součet** $\a_1 X_1 + \dots + \a_m X_m = \brackets{x \in \R^n \mid x = \displaystyle \sum_{i = 1}^m \a_i x_i \text{ pro nějaká } x_i \in X_i}$ je opět **konvexní**

Množina $X \subseteq \R^n$ se nazývá

- **kužel**, jestliže pro každé $x \in X$ a pro každé $\l \in [0, \infty)$ je také $\l x \in X$

- **konvexní kužel**, jestliže je množina $X$ konvexní a současně **kuželem**

- **afinní**, jestliže pro každé $x_1, x_2 \in X$ a pro každé $\l \in \R$ platí

Dále si rozeberme různé kombinace bodů

Nechť $x_1, \dots, x_m \in \R^n$. Lineární kombinace $\l_1 x_1 + \dots + \l_m x_m$ se nazývá

- **konvexní**, jestliže $\l_1, \dots, \l_m \geq 0$ a $\sum_{i = 1}^m \l_i = 1$

- **nezáporná**, jestliže $\l_1, \dots, \l_m \geq 0$

- **afinní**, jestliže $\sum_{i = 1}^m \l_i = 1$.

Tedy jistě platí

- Množina obsahující všechny linearní kombinace libovolných dvou svých bodů (tj. s libovolnými dvěma body obsahuje i přímku procházející těmito body a počátek) je **vektorový (lineární) prostor**

- Množina obsahující všechny afinní kombinace libovolných dvou svých bodů (tj. s libovolnými dvěma body obsahuje i přímku procházející těmito body) je **afinní**

- Množina obsahující všechny nezáporné kombinace libovolných dvou svých bodů (tj. s libovolnými dvěma body obsahuje i celou výšeč určenou polopřímkami vycházejícími z počátku a procházejícími těmito body) je **konvexní kužel**

- Množina obsahující všechny konvexní kombinace dvou libovolných svých bodů (tj. s libovolnámi dvěma body obsahuje i celou úsečku je spojující) je **konvexní**

Nechť $X \subseteq \R^n$

- průnik všech konvexních množin obsahujících množinu $X$ se nazývá **konvexní obal** množiny $X$ a značí se $\conv X$.

- průnik všech konvexních *kuželů* obsahujících množinu $X$ se nazývá **kónický obal** množiny $X$ a značí se $\cone X$.

- průnik všech *afinních* množin obsahujících množin $X$ se nazyvá **afinní obal** množiny $X$ a značí se $\aff X$. Jeho *zaměření* se nazývá **lineární obal** množiny $X$ a značí se $\lin X$. **Dimenze** afinního obalu množiny $X$ se značí $\dim X$ a klademe $\dim X := \dim {\lin X}$.

---

Jako **simplex** definujeme **konvexní** obal $n+1$ **afinně nezávislých** bodů $v_1, \dots, v_{n+1} \in \R^m$, kde $m \geq n$. Pod pojmem **afinně nezávislé** body rozumíme, že vektory

$$v_2 - v_1, v_3 - v_1, \dots, v_{n+1} - v_1$$

jsou **lineárně nezávislé**.

Nechť $X \subseteq \R^n$. Pak platí

- $\conv X = \brackets{x \mid x = \displaystyle\sum_{i = 1}^m \l_i x_i, \text{ kde } m \in \N \text{ je libovolné}, x_1, \dots, x_m \in X, \l_1, \dots, \l_m \geq 0, \sum_{i = 1}^m \l_i = 1}$

- $\cone X = \brackets{x \mid x = \displaystyle\sum_{i = 1}^m \l_i x_i, \text{ kde } m \in \N \text{ je libovolné}, x_1, \dots, x_m \in X, \l_1, \dots, \l_m \geq 0}$

- $\aff X = \brackets{x \mid x = \displaystyle\sum_{i = 1}^m \l_i x_i, \text{ kde } m \in \N \text{ je libovolné}, x_1, \dots, x_m \in X, \l_1, \dots, \l_m \in \R, \sum_{i = 1}^m \l_i = 1}$

---

Nechť $X \subseteq \R^n$. Každý bod konvexního obalu $\conv X$ může být vyjádřen jako konvexní kombinace nejvýše $n+1$ prvků množiny $X$, tj. pro $x \in X$ existují $x_1, \dots, x_{n+1} \in X$ a $\l_1, \dots, \l_{n+1} \geq 0$ splňující $\sum_{i = 1}^{n+1} \l_i = 1$ taková, že

$$x = \l_1 x_1 + \dots + \l_{n+1} x_{n+1}$$

---

Lze ukázat, že pokud $X \subseteq \R^n$ je **kompaktní** množina, pak $\conv X$ je **také kompaktní**.

Nechť $X \subseteq \R^n$. Bod $x^* \in X$ se nazývá **relativně vnitřním** bodem množiny $X$, jestliže existuje okolí $\O(x^* )$ bodu $x^* $ takové, že

$$\O(x^* ) \cap \aff X \subseteq X$$

---

Platí $\overline {\ri X} = \bar X$, tj. **relativní vnitřek** je dost velký na vygenerování **uzávěru**.