Nechť $X \subseteq \R^n$ je konvexní množina. Vektor $a \in \R^n$ se nazývá **subgradient** funkce $f: X \to \R$ v bodě $x^*\in X$, jestliže

$$f(x) - f(x^*) \geq \scal a {x - x^*} \eqT{2.5.1}$$

pro každé $x \in X$. Množina všech **subgradientů** funkce $f$ v bodě $x^*$ se nazývá **subdiferenciál** funkce $f$ v bodě $x^*$ a značí se $\subdif f(x^*)$. Funkce $f$ se nazývá **subdiferencovatelná** v bodě $x^*$, jestliže $\subdif f(x^*) \neq \emptyset$.

Speciálně, je-li $f:X \subseteq \R \to \R$ **konvexní** a $x^*\in \ri X$, pak podle Věty 2.5.7 (viz prezentace) existují **jednostranné** derivace $f'_ +(x^*), f'_ -(x^*)$, přičemž platí $f'_ -(x^*) \leq f'_ +(x^*)$. V tomto případě pak máme

$$\subdif f(x^*) = [f'_ -(x^*), f'_ +(x^*)]$$

- Je-li funkce $f$ **konvexní** a $x^*\in \ri X$, pak $\subdif f(x^*)$ je **neprázdná, uzavřená** a **konvexní** množina

Fenchelova transformace je transformace, která k funkci $f: X \subseteq \R^n \to \R$ přiřadí **konvexní** funkci $f^*: \R^n \to \R$. Této přidružené funkci $f^*$ se v řeči *optimalizace/matematického programování* říká **duální úloha** (viz Definice $\secRefAt{4.3.3}{./Duální úloha}$).

$$f^*(y) := \sup_{x \in \R^n} [\scal x y - f(x)]$$

Nechť je dána funkce $f: X \subseteq \R^n \to \R$ a $f^*$ je její Fenchelova transformace. Pak následující tvrzení jsou pravdivá:

- Je-li $f(x) \geq g(x)$ na $X$, pak $f^*(y) \leq g^*(y)$ pro všechna $y \in \R^n$.

$$f^{**} = f$$