<div style="visibility:hidden;height:0;overflow:hidden;margin:0;padding:0">

</div>

Připomeňme definici **jednoduchého oboru** $\tilde V$ v $\R^3$ (*Definice 23* v prezentacích), což je množina, která je **sjednocením jednoduchých oborů** vzhledem ke všem osám, přičemž jednoduchý obor $V$ vzhledem k např. ose $z$ definujeme jako

kde $M \subseteq \R^2$ je množina v **rovině**, která je omezená uzavřenou jednoduchou křivkou $C$.

Hamiltonův *nabla operátor* definujeme v $\R^2$ jako

z čehož dostáváme, že funkci $f : \R^2 \to \R$ přiřazuje vektorové pole

Obdobně bychom jej definovali pro $\R^n$.

Uveďme jako poznámku, že operátor $\nabla \circ \nabla = \nabla^2 = \Delta$ se nazývá **Laplaceův operátor** a pro skalární funkci $f$ má tvar

Nechť máme vektorovou funkci $\vv F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y))$, kde funkce $P,Q: \R^2 \to \R$ jsou spojitě diferencovatelné.

Pak s použitím definice $\secRef{ZD.1}$ označíme **divergenci** vektorového pole jako funkci $\Div{} : \R^2 \to \R$ definovanou předpisem

Obdobně bychom divergenci definovali pro vektorové pole v $\R^n$.

---

Dále si uvědomme, že *divergence* uvádá "poměr" přítoku a odtoku vektorového pole v daném bodě. To jest, je-li $\Div {\vv F}(x,y) > 0$, pak v bodě $[x,y]$ více vektorové odtéká, než je do toho bodu přítok. Analogicky pro situaci $\Div {\vv F}(x,y) < 0$.

Obdobně můžeme zapsat i **totální diferenciál** funkce $f:\R^n \to \R$

Vektorové pole $\vv F$ nazveme **nezřídlové**, pokud pro každý jeho bod $[x,y]$ platí

V opačném případě jej nazveme **zřídlové**.

Nechť máme vektorovou funkci $\vv F(x,y,z) = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))$, kde funkce $P,Q,R: \R^3 \to \R$ jsou spojitě diferencovatelné.

Pak s použitím definice $\secRef{ZD.1}$ označíme **rotaci** vektorové pole jako funkci $\rot{} :\R^3 \to \R^3$ s předpisem

Pro dvourozměrné vektorové pole $\vv F : \R^2 \to \R^2$ pak uvažujeme rotaci jako $\rot{} : \R^3 \to \R^3$ s 3. vstupní souřadnicí vždy nulovou a platí

Rotace $\rot{\vv F}(x,y)$ udává lokální míru rotace v bodě $[x,y]$ a je-li nulová, pak takové pole nazveme **nevírové**.

Nechť máme funkci $f: \R^n \to \R$ a vektorovou funkci $\vv F(\vv x) = (P_1(\vv x), \dots, P_n(\vv x))$, kde funkce $P_1, \dots, P_n: \R^n \to \R$ jsou spojitě diferencovatelné. Pak platí

1. $\rot{\grad f} = \vv 0$

2. $\Div{\rot{\vv F}} = 0$

*Důkaz:* \

Důkaz provedeme pro každou část zvlášť. Pro první rovnost jistě platí

přičemž si zde můžeme uvědomit, že $\nabla f$ je *de facto* lineární násobek operátoru $\nabla$, tedy $\nabla$ a $\nabla f$ jsou lineárně závislé. Z tohoto plyne, že jejich vektorový součin je nulový vektor. Více rigorózně tento důkaz provedeme v $\R^3$ následovně

za předpokladu, že $f$ je dostatečně hladká. V $\R^n$ by se důkaz vedl obdobně. \

Dokažme nyní druhou část tohoto lemmatu. Jistě

chápeme-li nyní $\nabla$ jako vektor, pak z definice vektorového součinu je $\nabla \times \vv F \perp \nabla \implies \scal {\nabla} {\nabla \times \vv F} = 0$. $\blacksquare$

Uvažujme vektorové pole $\vv F : \R^2 \to \R^2$ a křivku $C$ charakterizovanou parametrizací $t \in [a,b], x = \vf(t), y = \psi(t)$. Potom integrál

kde $\d \vv x = \d \vec{l} = (\d x, \d y)$ a $\vec t = (\vf', \psi')$, nazveme **křivkový integrál 2. druhu**.

---

Křivkovým integrálem 2. druhu v jakémsi smyslu zobecňujeme koncept "práce" (z fyziky), přičemž standardně jsme zvyklí na vztah $W = F \cdot d$, kde $d$ je délka trajektorie a $F$ síla působící na těleso posunující ho po zmíněné trajektorii. Představit si můžeme například šikmou plochu, viz obrázek.


V této situaci gravitační pole působící silou $\vec F$ vykoná práci pouze části síly $F$, která je tečná (v tomto případě rovnoběžná) ke směru pohybu. Tato tečná část je označena $\vec F_t$ a jistě platí $\vec F_t = \scal{\vec{F}} {\vec {t}}$ a taktéž

To ovšem můžeme zapsat i pomocí křivkového integrálu 2. druhu, který udává **práci, kterou vykoná vektorové pole při posunu tělesa po trajektorii**

a tedy

Uvažujme vektorové pole $\vv F = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) : \R^3 \to \R^3$ a plochu $S$. Potom

kde $\vec n$ je normálový vektor plochy $S$, nazýváme **plošný integrál 2. druhu**.

---

Plošný integrál 2. druhu nám udává průtok (*flux*) vektorového pole $\vv F$ skrze plochu $S$, který v každém bodě této plochy počítáme jako skalární součin normály $\vec{n}$ k ploše $S$ a vektorového pole $\vv F$ (což nám dá, jak "velká část" $\vv F$ směřuje ve směru normály $\vec{n}$ a tedy protíká onou plochou $S$)

Zformulujme tuto větu prvně slovně, poté i s podmínkami rigorózně: \

Nechť $V$ je jednoduchý obor v $\R^3$, $\vv F : \R^3 \to \R^3$ je vektorové pole se spojitě diferencovatelnými složkami v každé proměnné a nechť $S$ je ohraničená plocha ohraničující $V$ orientovaná ve směru vnější normály. Pak platí

Abychom pochopili, proč můžeme průtok spočítat přes divergenci v celém objemu, rozdělme si objem $V$ uzavřený plochou $S$ na malé obdélníčky (kvádříky v $\R^3$) a spočítejme divergenci v těchto obdélnících (na obrázku jsou znázorněny všechny divergence kladné). Při dostatečně jemném dělení a spojitosti vektorového pole $\vv F$ zjistíme, že divergence mezi sousedícími stěnami se odečtou (znázorněno červeně) a zbudou nám pouze divergebce v "okrajovém pásu" (aka plocha $S$) mířící ven z $V$ (znázorněny modře).


Poznamenejme, že znaménko průtoku **dovnitř** plochy $S$ je **opačné**, než znaménko průtoku **vně** této plochy. Aneb tuto větu můžeme interpretovat tak, že pokud **dohromady** (skrze integrál) uvnitř $V$ (respektive $S$) nevzniká ani nemizí žádná kapalina (vektorové pole $\vv F$), pak průtok skrze plochu $S$ musí být nulový (při znaménkové konvenci řečené výše).

---

Množina $G \subseteq \R^2$ je **jednoduše souvislá oblast**, pokud je $G$ otevřená, souvislá (libovolné 2 body lze spojit lomenou čarou, která leží v $G$) a s každou uzavřenou křivkou leží v $G$ i vnitřek této křivky.

Nechť plochu $S$, která je omezená ohraničenou křivkou $C$ tvořící kraj $S$, lze rozložit na konečný počet částí, které jsou grafy funkcí proměnných $x,y$, totéž pro $x,z$ a $y,z$. Nechť vektorové pole $\vv F : S \to \R^3$ má spojitě diferencovatelné složky na $S$. Dále nechť křivka $C$ je orientovaná souhlasně s plochou $S$. Pak platí

nebo ekvivalentně


---

Geometrická odůvodnění si ukážeme na jednodušší variantě - na Greenově větě $\secRef{VT.3}$.

Greenova věta je speciální případ Stokesovy věty $\secRef{VT.2}$ pro plochu $S$, zde značenou jako $G$, jakožto rovinu.

Nechť $G$ je jednoduše souvislá oblast v rovině, $C$ je uzavřená, kladně orientovaná (proti směru hod. ručiček) křivka v $G$. Dále nechť $\vv F : \R^2 \to \R^2$ je vektorové pole se spojitě diferencovatelnými složkami na uzávěru $\overline G$. Pak platí

kde $D$ je část množiny $G$ omezená křivkou $C$ a $\d \vec{l} = \d \vv x = (\d x, \d y)$ udává tečnu ke křivce $C$ v daném bodě.

---

Opět tuto větu odůvodníme podobným argumentem jako u Gaussovy věty $\secRef{VT.1}$, tj. tentokrát plochu $S$ rozdělíme na obdélníčky, ve kterých určíme rotaci vektorového pole $\rot{\vv F}$. Zjemňujeme-li toto dělení, všimneme si, že sousedí-li 2 obdélníčky a mají stejně orientovanou rotaci, pak se na sdílené straně "potkají 2 protichůdné směry" a celkem se rotace "odečte". Tímto nám opět zbude pouze rotace na okraji oblasti $G$, tedy křivka $C$, při které je rotace tečná ke křivce $C$ - to je ale přesně integrál skalárního součinu vektorového pole $\vv F$ a malého tečného kroku na křivce $C$, tj. $d \vec{l}$.